| 本科 | 選択・必修 | 開設時期 | 単位数 | 授業形態 | 担 当 | |||
| 一般科目 | 選択 | 4年 | 3 | 講義 | 山本 拓生 | |||
| 【授業の概要】 工学の専門科目を学ぶために必須と思われるベクトル解析・フーリエ解析・ラプラス解析・複素関数論を解説する。数学的厳密さよりも、実際に計算し応用できるようになることを目的とする。 | ||||||||
| 【授業の進め方】 教科書を参考にしつつ講義、演習を行う。演習では問題を指定し解答を板書してもらう。また、レポートを課すことがある。本授業の理解を高めるためには予習復習が必須である。 | ||||||||
| 【授業計画】 | 【授業項目】 | 【内 容】 | ||||||
| 1 回 | ベクトルの復習とベクトル値関数 | 数学IIBで習ったベクトルに関して簡単な復習を行う。また数学IIAで習った関数の拡張概念であるベクトル値関数について学ぶ。 | ||||||
| 2 回 | 曲線の長さと曲面の面積 | 曲線・曲面をベクトル値関数で表し、その長さや面積を求められるようにする。 | ||||||
| 3 回 | スカラー場とベクトル場及び勾配 | 例を交えてスカラー場とベクトル場を解説する。ナブラ演算子と勾配について学ぶ。 | ||||||
| 4 回 | ベクトル場の発散と回転 | 発散と回転を定義し、計算ができるようにする。 | ||||||
| 5 回 | 線積分と面積分の計算 | 線積分と面積分を定義し、計算ができるようにする。 | ||||||
| 6 回 | ガウスの定理と発散の意味 | ガウスの定理の証明の概略を示し、発散の直感的意味について学ぶ。また、電磁気学との関連性について述べる。 | ||||||
| 7 回 | ストークスの定理と回転の意味 | ストークスの定理の証明の概略を示し、回転の直感的意味について学ぶ。また、電磁気学との関連性について述べる。 | ||||||
| 8 回 | 中間試験 | 以上の範囲で試験を行う。 | ||||||
| 9 回 | 関数空間の直交関数系と内積及びフーリエ級数の意味 | 3次元ベクトルとの類似からフーリエ級数を解説する。ベクトルの成分に当たるものがフーリエ係数であることを理解する。 | ||||||
| 10 回 | フーリエ級数の計算 | 具体的にフーリエ級数を求められるようにする。一般の周期関数について理論の拡張を行う。 | ||||||
| 11 回 | フーリエ変換の定義と計算 | フーリエ級数の周期を拡張することによってフーリエ変換を直感的に理解し、計算できるようにする。 | ||||||
| 12 回 | フーリエ変換の性質及び畳み込み | フーリエ変換の持つ種々の性質を理解する。また、応用上重要な畳み込みを定義して計算してみる。 | ||||||
| 13 回 | サンプリング定理 | サンプリング定理を証明し、意味を説明する。 | ||||||
| 14 回 | ディラックのデルタ関数とへヴィサイドのステップ関数 | 工学で重要なデルタ関数とステップ関数を用いた計算を行う。 | ||||||
| 期末試験 | 以上の範囲で試験を行う。 | |||||||
| 15 回 | 答案返却など | 答案返却及び解説を行う。 | ||||||
| 16 回 | 複素数の復習 | 1年次に倣った複素数について復習を行う。 | ||||||
| 17 回 | ラプラス変換の定義と計算 | フーリエ変換の変形としてラプラス変換を導入し、いくつかの計算を行う。 | ||||||
| 18 回 | 相似性と移動法則及び微分積分法則 | ラプラス変換に対する種々性質を示し、実際に計算に用いてみる。 | ||||||
| 19 回 | 逆ラプラス変換とへヴィサイドの展開定理 | 逆ラプラス変換と変換表の使い方について学ぶ。 | ||||||
| 20 回 | 微分方程式とラプラス変換 | ラプラス変換を用いて微分方程式を解くことを学ぶ。 | ||||||
| 21 回 | ラプラス変換と畳み込み | 応用上重要な畳み込みとラプラス変換について述べ、計算してみる。 | ||||||
| 22 回 | 古典的制御と線形時不変システム | LTIの安定性について簡単なモデルを扱い、ラプラス変換の応用に触れてみる。 | ||||||
| 23 回 | 中間試験 | 以上の範囲で試験を行う。 | ||||||
| 24 回 | 複素関数の定義と性質 | 複素数が変数の複素数値関数を学ぶ。複素関数論における、べき・指数・三角関数について学ぶ。 | ||||||
| 25 回 | 複素関数論と多価関数 | 対数関数と無理関数について簡単に触れる。 | ||||||
| 26 回 | 複素関数の微分積分 | 正則関数及び複素積分について学ぶ。簡単な計算ができるようになることを目的とする。 | ||||||
| 27 回 | コーシーの定理と積分定理及びグルサの定理 | 最も重要なコーシーの定理の意味を学ぶ。 | ||||||
| 28 回 | 正則関数のテイラー展開と特異点周りのローラン展開 | 正則関数はいつでもテイラー展開できる事、孤立特異点周りでのローラン展開を学ぶ。 | ||||||
| 29 回 | 留数定理と実積分 | ローラン展開を用いて留数定理を証明した後、実積分の計算に応用する。 | ||||||
| 期末試験 | 以上の範囲で試験を行う。 | |||||||
| 30 回 | 答案返却など | 答案返却の後、解説を行う。 | ||||||
| 【到達目標】 | 応用解析学を理解し、教科書の問と練習問題の７０％が自力で解けるようになる。 また、各自の専門分野に対する理解を深める。 | 【徳山高専学習・教育目標】 | A1 | 【JABEE基準】 | 1(2)c-1 | |||
| 【評価法】 | 前期：中間試験50%、期末試験50%、…① 後期：中間試験50%、期末試験50%、…② 最終評価：(①×1/2＋②×1/2)＊0.7＋平常点 (ただし上記以外にレポート等を課すことがある) | |||||||
| 【テキスト】 | [テキスト] 新 応用数学, 佐藤志保 他, 新日本図書 [参考文献] ・ベクトル解析 (工学基礎演習シリーズ２), H.P.スウ, 森北出版 ・Vector Calculus (Springer Undergraduate Mathematics Series), Springer ・フーリエ解析 (工学基礎演習シリーズ１), H.P.スウ, 森北出版 ・An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series (Springer Undergraduate Mathematics Series) , P. Dyke , Springer ・制御工学(第2版) フィードバック制御の考え方, 斉藤 制海, 森北出版 ・Schaum's Outline of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists (Schaum's Outlines), M.Spiegel, McGraw-Hill Education ・複素関数入門 (現代数学への入門), 神保 道夫, 岩波書店 ・Complex Variables and Applications, J.Brown and R.Churchill, McGraw Hill Higher Education | |||||||
| 【関連科目】 | 数学全科目、専門科目多数 | |||||||